三行定律概率分析
1. 概述
最近，虎牙直播 狼人杀主播 大申屠007 提出了一套 网杀理论：“三行定律，麻吕模型”，该理论可大致描述为：
在一局
12人的标准场狼人杀（网杀）局里，四个狼人的分布大概率会出现在其中的某三行中，其中不出现三行中的概率大约是10.30303030...%。
由于是与著名 麻省理工学院 数学家 吕学士 联合研制而成，故也称“三行定律，麻吕模型”。
(ren)纯(zhen)属(ni)娱(jiu)乐(shu)一(le)下 
示例如下：
图中，狼人分别为：3, 6, 8, 12 号玩家，其中 8 号在第二行， 3 号在第三行， 6, 12 号则在第六行，一共三行。
2. 分布概率
下面我们来分析一下狼人分布的概率。
2.1. 位置分组
为了便于讨论，我们把 1 到 12 号玩家分为 6 组，分别为 A, B, C, D, E, F 共六行，如下图所示：
2.2. 分布类型
我们可以想象一下，四个狼人随机分布到 12 个位置中，分布最均匀的时候，可能会分布到了不同的 4 行中；如果分布得稍微差一点，可能会有两个狼人会被分到同一行中，那么狼人总共就分布在 3 行里；分布的最不均匀的时候，就是四个狼人分别分布在不同的两行里面，所以总共有且只有 3 种不同的类型，即：
- 四个狼人分布不在不同的
4行内； - 四个狼人分布不在不同的
3行内； - 四个狼人分布不在不同的
2行内；
如下图所示：
2.3. 概率分析
下面分别分析一下这三种不同类型出现的概率，我们先从最简单的四狼分布在两行中开始分析。
先分析一下，四个狼人随机分发到 12 个位置中的所有可能的总数，根据排列组合的知识，这个值等于 \(C_{12}^4\) ，即：
\(C_{12}^4 = (12 * 11 * 10 * 9) / (4 * 3 * 2 * 1) = 495\) 种可能。
2.3.1. 2-2 类型
四狼分布在两行中的图示如下：
上图中，可以看到，无论狼分布在哪两行里，都可以把它视为 2-2 分布，所以我们把这种类型称为 2-2 类型，这样便于分析概率。
下面来分析一下概率，首先，从 A, B, C, D, E, F 共 6 行中任选两行出来，一共有 \(C_6^2 = (6 * 5) / (2 * 1) = 15\) 种可能。
当选出了这任意两行后，例如上图中的 B, D 两行，再考虑把所有狼人放进这两行中。
由于在每一行中，例如 B 行中，共有 2, 8 两个号码，且这两个号码是不分先后的，所以把两只狼放到行 B 中的可能性有且只有一种，即 2, 8 双狼。同样的道理，把两只狼放到行 D 中也有且只有一种可能性。
所以，四狼分布在任意两行中总的可能分布情况一共有：
\(C_6^2 * 1 * 1 = 15 * 1 * 1 = 15\) 种可能。
所以“2-2 类型”出现的概率是：\(P = 15 / 495 = 3.03030 \%\)。
2.3.2. 1-2-1 类型
四狼分布在三行中的图示如下：
上图中，可以看到，狼分布在任意三行里，可能的分布格式有 2-1-1, 1-2-1, 1-1-2 三种可能，为了方便讨论，我们把这种类型统称为 1-2-1 类型 。
分析一下这种类型的概率，首先，从 A, B, C, D, E, F 共 6 行中任选三行出来，一共有 \(C_6^3 = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 20\) 种可能。
当我们选出了这任意三行后，比如上图中的 A, C, E 三行，再考虑把四个狼人放进这三行中。
我们先考虑 “1-2-1 类型” 中的 2，即 C 这一行，跟前面 “2-2” 类型类似，这种情况没有选择，有且只一种可能性。但是从上往下看，这个 2 可能是这三行中靠最前的，或是中间的，又或是靠最后的，例如上图中，这个 2 就是靠中间的，也就是 1-2-1 这种类型。在前面我们也分析过了，分布的格式一共有 2-1-1, 1-2-1, 1-1-2 三种不同可能，所以这个 2 的可能共有 \(3 * 1 = 3\) 种可能；
再来看 “1-2-1” 中的另外两个 “1”，例如：第一行 A，此时，狼人可能是 1 或者 7，所以一共有两种可能的情况。对于第五行 E，同理，狼人可能是 5 或者 11，同样也是两种可能。所以，选出任意 3 行后，再把四个狼人放到这 3 行内，一共有 \(3 * 2 * 2 = 12\) 种不同可能。
综上可得，四狼分布在任意三行中总的可能分布情况一共有：
\(C_6^3 * 3 * 2 * 2 = 20 * 12 = 240\) 种可能。
所以“1-2-1 类型”出现的概率是：\(P = 240 / 495 = 48.4848 \%\)。
2.3.3. 1-1-1-1 类型
四狼分布在四行中的图示如下：
上图中，可以看到，狼分布在任意四行里，为了方便讨论，我们把这种类型统称为 1-1-1-1 类型 。
分析一下这种类型的概率，首先，从 A, B, C, D, E, F 共 6 行中任选四行出来，一共有 \(C_6^4 = C_6^2 = (6 * 5) / (2 * 1) = 15\) 种可能。
当我们选出了这任意四行后，比如上图中的 B, C, D, F 四行，再考虑把四个狼人放进这四行中。
这种情况比较简单，对于被选出来的每一行，都有两个位置可选，也就是每一行都有两种可能，比如第二行 B，可选 2 或者 8。所以，选出任意 4 行后，再把四个狼人放到这 4 行内，一共有 \(2 * 2 * 2 * 2 = 16\) 种不同可能。
综上可得，四狼分布在任意四行中总的可能分布情况一共有：
\(C_6^4 * 2 * 2 * 2 * 2 = 15 * 16 = 240\) 种可能。
所以“1-1-1-1 类型”出现的概率是：\(P = 240 / 495 = 48.4848 \%\)。
3. 简单验证
把以上三种类型的可能情况的总数合计一下，可以得到总数为：
\(15 + 240 + 240 = 495\)，这和我们前面得到 4 个狼人随机分配到 12 个位置的所有可能总数 \(C_{12}^4 = 495\) 是相等的，说明所有的情况我们都考虑到了，结果是正确的。
4. 后记
上面的分析其实是有一点小瑕疵的，我也是后来才想到的，道理也很简单，我会另写一篇文章讨论，有兴趣的朋友可以先思考一下。
这里给个提示，首先，如果你要找狼人，那么说明你一定是一个好人视角，因为在标准局里，狼人是互相认识的，不需要找狼，对吗？所以，我想聪明的你应该知道问题出在哪了吧……